Question

如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=60°，分别连接BC、BD，作AE平分∠BAC交BD于点E，若BE=4，ED=8，则DF=_____．

Answer

6

【解析】

连接CE、CD，取DE的中点M，连接CM．首先证明△ECM，△ACD度数等边三角形，再证明△CEF∽△DEC即可解决问题．

【解析】
连接CE、CD，取DE的中点M，连接CM．

∵AB=AC，∠EAB=∠EAC，AE=AE，

∴△EAB≌△EAC，

∴BE=EC=4，∠ABE=∠ACE，

∵AB=AD，

∴∠ABE=∠ADB，

∴∠ACE=∠ADF，

∵∠DFA=∠CFE，

∴∠DAF=∠CEF=60°，

∵EM=ED=4，

∴CE=EM，

∴△EMC是等边三角形，

∴CM=EM=DM，∠EMC=60°，

∵∠EMC=∠MCD+∠MDC，

∴∠MCD=∠MDC=30°，

∵AC=AD，∠CAD=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ADC=60°，

∴∠ADB=∠ABD=∠ACE=∠CDB=30°，

∵∠CEF=∠CED，

∴△CEF∽△DEC，

∴EC2=EF•ED，

∴16=8EF，

∴EF=2，DF=DE﹣EF=6．

故答案为6．