Question

已知△ABC是等边三角形，在直线AC、直线BC上分别取点D和点且AD=CE，直线BD、AE相交于点F．

（1）如图1所示，当点D、点E分别在线段CA、BC上时，求证：BD=AE；

（2）如图2所示，当点D、点E分别在CA、BC的延长线时，求∠BFE的度数；

（3）如图3所示，在（2）的条件下，过点C作CM∥BD，交EF于点M，若DF：AF：AM=1：2：4，BC=12，求CE的长度．

Answer

（1）证明见解析；（2）60°；（3）6.

【解析】

（1）先判断出∠BAC=∠ACB，进而用SAS即可判断出△ABD≌△CAE，即可得出结论；

（2）先判断出∠BAD=∠ACE=120°，进而用SAS即可判断出△ABD≌△CAE，即可得出结论；

（3）先求出AC=12，再判断出△ADF∽△ACM，即可得出结论．

【解析】
（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，

在△ABD和△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，

∴∠BAD=∠ACE=120°

在△ABD和△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE，

∴∠ADB=∠CEA，

∴∠BFE=∠ADB+∠DAF=∠AEC+∠CAE=∠ACB=60°；

（3）∵CM∥BD，

∴△ADF∽△ACM，

∴ ，

∵AF：AM=2：4=1：2，

∴AD=AC，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC=12，

∴AD=6，

∵AD=CE，

∴CE=AD=6．