Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC，点A在x轴的负半轴上，点B是y轴上的一个动点，点C在点B的上方，

（1）如图1当点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，1）时，求点C的坐标；

（2）设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b）．过点C作CD⊥y轴于点D，在点B运动过程中（不包含△ABC的一边与坐标轴重合的情况），猜想线段OD的长与a、b的数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下如图4，当x轴平分∠BAC时，BC交x轴于点E，过点作CF⊥x轴于点F．说明此时线段CF与AE的数量关系（用含a、b的式子表示）．

Answer

（1）C（﹣1，4）；（2）OD=a﹣b；（3）aAE+bCF=﹣a（a+b）．

【解析】

（1）先确定出OA=3，OB=1，进而判断出△AOB≌△BDC，即可得出BD=3，CD=1，即可得出结论；

（2）分三种情况，同（1）的方法即可得出结论；

（3）先确定出OF=CD=﹣b，CF=OD=b﹣a，进而得出AF=OA+OF=﹣a﹣b，在判断出△AOB∽△CFE，即可得出EF=（b﹣a），进而得出AE=AF﹣EF=﹣a﹣b﹣（b﹣a），即可得出结论．

【解析】
（1）如图1，

∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，1），

∴OA=3，OB=1，

过点C作CD⊥y轴于D，

∴∠BCD+∠CBD=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBD+∠ABO=90°，

∴∠ABO=∠BCD，

在△AOB和△BDC中，，

∴△AOB≌△BDC，

∴BD=OA=3，CD=OB=1，

∴OD=OB+BD=4，

∴C（﹣1，4）；

（2）当点B在y轴正半轴上时，

如图1，∵点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），

∴OA=|a|=﹣a，OB=|b|=b，

由（1）知，△AOB≌△BDC，

∴BD=OA=﹣a，CD=OB=b，

∴OD=OB+BD=b+（﹣a）=b﹣a，

当点B在y轴负半轴上，点C在第一象限时，如图2，

∵点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），

∴OA=|a|=﹣a，OB=|b|=﹣b，

由（1）知，△AOB≌△BDC，

∴BD=OA=﹣a，CD=OB=﹣b，

∴OD=BD﹣OB=（﹣a）﹣（﹣b）=b﹣a，

当点B在y轴负半轴，点C在第四象限时，如图3，

∵点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），

∴OA=|a|=﹣a，OB=|b|=﹣b，

由（1）知，△AOB≌△BDC，

∴BD=OA=﹣a，CD=OB=﹣b，

∴OD=OB﹣BD=﹣b﹣（﹣a）=a﹣b；

（3）如图4，

∵点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），

∴OA=|a|=﹣a，OB=|b|=﹣b，由（1）知，△AOB≌△BDC，

∴BD=OA=﹣a，CD=OB=﹣b，

∴OD=BD﹣OB=（﹣a）﹣（﹣b）=b﹣a，

∵CF⊥OA于F，

∴四边形ODCF是矩形，

∴OF=CD=﹣b，CF=OD=b﹣a，

∴AF=OA+OF=﹣a﹣b，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=45°，

∵AF平分∠BAC，

∴∠OAC=∠OAB=22.5°，

∴∠ECF=∠ACF﹣∠ACB=90°﹣∠OAC﹣∠ACB=22.5°=∠OAB，

∵∠AOB=∠CFE，

∴△AOB∽△CFE，

∴，

∴，

∴EF=（b﹣a），

∴AE=AF﹣EF=﹣a﹣b﹣（b﹣a），

∵CF=b﹣a，

∴AE=﹣a﹣b﹣CF，

∴aAE+bCF=﹣a（a+b）．