Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点D，在AD上取一点E，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点F．

请补全图形并解决下面的问题：

（1）求证：∠BAE＝2∠EBD；

（2）如果AB＝5，sin∠EBD＝．求BD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）BD＝.

【解析】

（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAE＝2∠BAF，再证明∠EBD＝∠BAF即可解决问题；

（2）作EH⊥BD于H．由sin∠BAF＝sin∠EBD＝，AB＝5，推出BF＝，推出BE＝2BF＝2，在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，推出BH＝＝4，由EH∥AB，推出＝，由此即可求出DH解决问题；

（1）证明：连接AF．

∵AB是直径，

∴∠AFB＝90°，

∴AF⊥BE，

∵AB＝AE，

∴∠BAE＝2∠BAF，

∵BD是⊙O的切线，

∴∠ABD＝90°，

∵∠BAF+∠ABE＝90°，∠ABF+∠EBD＝90°，

∴∠EBD＝∠BAF，

∴∠BAE＝2∠EBD．

（2）【解析】
作EH⊥BD于H．

∵∠BAF＝∠EBD，

∴sin∠BAF＝sin∠EBD＝，∵AB＝5，

∴BF＝，

∴BE＝2BF＝2，

在Rt△ABF中，EH＝BE•sin∠EBH＝2，

∴BH＝＝4，

∵EH∥AB，

∴，

∴，

∴DH＝，

∴BD＝BH+HD＝．