Question

如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．

（1）∠BFE的度数是多少；

（2）如果，那么等于多少；

（3）如果时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．

Answer

（1）∠BFE＝60°；（2）＝1；（3）．证明见解析.

【解析】

（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．

（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性质即可解决问题；

（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，设BD＝AE＝m，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠DAF＝∠ABD，

∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，

（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．

∵△ABC是等边三角形，BE＝EC，AD＝CD，

∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，

∴∠FAB＝∠FBA，

∴FA＝FB，

∴＝1．

（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，

∵△ABD≌△CAE，

∴BD＝AE，∠DAF＝∠ABD，设BD＝AE＝m，

∵∠ADF＝∠BDA，

∴△ADF∽△BDA，

∴，

∴①，

∵∠FBE＝∠CBD，∠BFE＝∠C＝60°，

∴△BFE∽△BCD，

∴，

∴②，

①÷②得到：，

∴．