Question

对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP＝MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D（，），E（0，2），F（﹣2，0）．

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是哪几个点；

②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．

（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．

Answer

（1）①⊙O的“等径点”是D，E；②﹣2≤m≤﹣1；（2）这个圆的半径r的取值范围为r≥2．

【解析】

（1）①根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍，由此即可判定；

②如图2中，设直线EF交半径为2的⊙O于点K，连接OK，作KM⊥OF于M．当点T在线段FK上时，点T是“等径点”，求出点K的坐标即可解决问题；

（2）因为△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，所以这个圆的圆心Q是线段FG的中点，易知Q（2，0），设这个圆的半径为r．根据QG≤2r，构建不等式即可解决问题.

（1）根据“等径点”的定义可知，“等径点”到圆心的距离小于等于圆的半径的2倍．即半径为1的⊙O的“等径点”在以O为圆心2为半径的圆内或圆上．

如图1中，观察图象可知：在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是D，E．

②如图2中，设直线EF交半径为2的⊙O于点K，连接OK，作KM⊥OF于M．

∵OF＝2，OE＝2，

∴tan∠EFO＝=，

∴∠OFK＝60°，

∵OF＝OK，

∴△OFK是等边三角形，

∴OF＝OK＝FK＝2，

∵KM⊥OF，

∴FM＝OM＝1，KM＝＝，

∴K（﹣1， ），

∵当点T在线段FK上时，点T是“等径点”，

∴﹣2≤m≤﹣1．

（2）如图3中，

∵△EFG是直角三角形，∠FEG＝90°，∠EFG＝60°，

∴EF＝2OF＝4，FG＝2EF＝8，

∴OG＝6，

由题意△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，这个圆的圆心Q是线段FG的中点，Q（2，0），设这个圆的半径为r．

由题意：QG≤2r

∴4≤2r，

∴r≥2，

即这个圆的半径r的取值范围为r≥2．