Question

如图，点P是射线BM上的一个动点(点P不与点B重合)，∠AOB= 30°，∠ABM=60°.当∠OAP=______时，以点A、O、B中的任意两点和点P为顶点的三角形是等腰三角形.

Answer

75°或120°或90°

【解析】

先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．

分为以下5种情况：

①OA=OP，

∵∠AOB=30°，OA=OP，

∴∠OAP=∠OPA=×（180°-30°）=75°；

②OA=AP，

∵∠AOB=30°，OA=AP，

∴∠APO=∠AOB=30°，

∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-30°-30°=120°；

③AB=AP，

∵∠ABM=60°，AB=AP，

∴∠APO=∠ABM=60°，

∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-30°-60°=90°；

④AB=BP，

∵∠ABM=60°，AB=BP，

∴∠BAP=∠APO=×（180°-60°）=60°，

∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-30°-60°=90°；

⑤AP=BP，

∵∠ABM=60°，AP=BP，

∴∠ABO=∠PAB=60°，

∴∠APO=180°-60°-60°=60°，

∴∠OAP=180°-∠AOB-∠APO=180°-30°-60°=90°；

所以当∠OAP=75°或120°或90°时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形，
故答案为：75°或120°或90°．