Question

如果一个正整数能够表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”.如:①8=3²- 1²，②16=5²-3²，③24=7²-5²，因此8，16，24都是奇特数.

(1)写出第④个等式.

(2)设两个连续奇数为2n-1和2n+1(其中n取正整数)，那么由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗?为什么?

Answer

(1)32=92-72； (2)是，证明见解析.

【解析】

（1）根据前三个式子的规律可得第四个式子为32=92-72；

（2）利用平方差公式计算（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n•2=8n，得到两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．

（1）由①8=32- 12，②16=52-32，③24=72-52，

可知32=92-72.；

（2）由连续奇数2n-1，2n+1(n为正整数)构造的奇特数是8的倍数.理由如下:

(2n+1)2- (2n-1)2 =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)= 8n.