Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0），且经过直线y=x-2与x轴的交点B及与y轴的交点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线的顶点坐标；

（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且tan∠MOC=1，求M点的坐标及四边形OBMC面积．

Answer

（1）y=x2-x-2；（2）顶点坐标为（，-）；（3）M（，-），四边形OBMC的面积为2．

【解析】

（1）先根据坐标轴上点的坐标特征确定B（2，0），C（0，−2），然后利用待定系数法确定二次函数解析式；

（2）把（1）的解析式配成顶点式得y＝ ，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标；

（3）由于△OBC为等腰直角三角形，而OM⊥BC，则OM的解析式为，可设，把它代入二次函数解析式得，解得 ．则M点坐标为 ，然后计算出OM＝2，BC＝ ，再利用三角形面积公式计算四边形OBMC的面积．

【解析】
（1）直线y=x-2与坐标轴的交点坐标分别为B（2，0），C（0，-2），以A、B、C三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c中，得

解得

∴所求抛物线的解析式是y=x2-x-2；

（2）∵y=x2-x-2=，

∴抛物线的顶点坐标为（，-）；

（3）∵点M在第四象限内的抛物线上，且tan∠MOC=1，

∴设M（x，-x），

因为点M在抛物线上，∴x2-x-2=-x．

解得x1=，x2=，

因点M在第四象限，取x=，∴M（，-），

∵OB=OC，∠BOC=90°，

∴∠OCB=45°，

∵∠COM=45°，

∴∠ODC=90°，

即OM⊥BC，

得OM=2，BC=2，

∴四边形OBMC的面积为OM•BC=2．