Question

如图，一次函数y₁=k₁x+b的图象与反比例函数y₂=的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，-4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接OB，求△AOB的面积；

（3）请直接写出当x＜m时，y₂的取值范围．

Answer

（1）y2=-；（2）S△AOB=；（3）当x＜3时，y2＞0或y2＜-4．

【解析】

（1）过点A作AE⊥轴于点E，在Rt△AEO中，通过解直角三角形可求出点A的坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的解析式；

（2）由反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，根据点A、B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；

（3）观察函数图象可得出：＜0以及0＜＜3时，的取值范围，合在一起即可得出结论．

【解析】
（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．

在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=，

∴AE=AO•sin∠AOC=5×=3，

∴OE==4，

∴点A的坐标为（-4，3）．

∵点A在反比例函数y2=的图象上，

∴k2=-4×3=-12，

∴反比例函数的解析式为y2=-．

（2）∵点B（m，-4）反比例函数y2=-的图象上，

∴-4=-，解得：m=3，

∴点B的坐标为（3，-4）．

将A（-4，3）、B（3，-4）代入y1=k1x+b中，

，解得：，

∴直线AB的解析式为y=-x-1．

当y=-x-1=0时，x=-1，

∴点C的坐标为（-1，0），

∴S△AOB=OC•（yA-yB）=×1×[3-（-4）]=．

（3）观察函数图象可知：当x＜0时，y2＞0；当0＜x＜3时，y2＜-4．

∴当x＜3时，y2＞0或y2＜-4．