Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．

（1）求证：AM是⊙O的切线；

（2）若∠D=60°，AD=2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．

Answer

证明见解析

【解析】

试题（1）根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，得到∠BAD＝∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM＝∠FAD，再由∠BAD与∠FAD互补，得出∠BAM＝90°，根据切线的判定即可得到结论；

（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推出△ACD是等边三角形，得到CD＝AD＝2，再根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠5＝∠4＝30°，AN＝AC＝2，利用三角函数解直角三角形即可得到结论．

试题解析：

（1）证明：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，

∴．

∴．

∵AM是∠DAF的角平分线，

∴．

∵°，

∴°．

∴OA⊥AM．

∴AM是⊙O的切线．

（2）思路：①由AB⊥CD，AB是⊙O的直径，可得AC＝AD，∠1＝∠3＝∠CAD；

②由∠D＝60°，AD＝2，可得△ACD为边长为2的等边三角形，∠1＝∠3＝30°；

③由OA＝OC，可得∠4＝∠3＝30°；

④由∠CAN＝∠3＋∠BAN＝30°＋90°＝120°，可得∠5＝∠4＝30°，AN＝AC＝2；

⑤在Rt△OAN中，根据三角函数即可求出ON的长．