Question

Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC:BC＝4:3，O是BC上一点，⊙O交AB于点D，交BC延长线于点E．连接ED，交AC于点G，且AG＝AD．

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）设⊙O与AC的延长线交于点F，连接EF，若EF∥AB，且EF＝5，求BD的长．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】（1）连结OD，由∠ACB＝90°，可得∠OED+∠EGC＝90°，再由OD＝OE，根据等腰三角形的性质可得∠ODE＝∠OED，再因AG＝AD，根据等腰三角形的性质可得∠ADG＝∠AGD ，由∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°，可得OD⊥AB ，所以AB是⊙O的切线；（2）连接OF，由EF∥AB，AC:BC＝4:3，可得CF:CE＝4:3．在Rt△ECF中，EF＝5，求得CF＝4，CE＝3．设半径＝r，则OF＝r，CF＝4，CO＝r－3．

在Rt△OCF中，由勾股定理求得r＝， 再证得△CEF∽△DBO，根据相似三角形的性质可得，由此求得BD＝．

（1）证明：连结OD

∵∠ACB＝90°，

∴∠OED+∠EGC＝90°，

∴OD＝OE，

∴∠ODE＝∠OED，

∵AG＝AD，

∴∠ADG＝∠AGD ，

∵∠AGD＝∠EGC，

∴∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°，

∴OD⊥AB ，

∵OD为半径，

∴AB是⊙O的切线；

（2）连接OF．

∵EF∥AB，AC:BC＝4:3，

∴CF:CE＝4:3．

又∵EF＝5，

∴CF＝4，CE＝3．

设半径＝r，则OF＝r，CF＝4，CO＝r－3．

在Rt△OCF中，由勾股定理，可得r＝．

∵EF∥AB，

∴∠CEF＝∠B，

∴△CEF∽△DBO，

∴＝，

∴BD＝．