Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若BC=2．求阴影部分的面积．（结果保留π的形式）

Answer

（1）CD与⊙O的位置关系是相切．（2）3﹣π．

【解析】

（1）接BD、OD，求出∠ABD＝∠AED＝45°，根据DC∥AB，推出∠CDB＝45°，求出∠ODC＝90°，根据切线的判定推出即可；

（2）求出∠AOD＝∠BOD＝90°，求出AO、OD，分别求出△AOD、扇形BOD、平行四边形ABCD的面积，相减即可求出答案．

（1）【解析】
CD与⊙O的位置关系是相切．

理由是：连接BD、OD，

∵∠AED=45°，

∴∠ABD=∠AED=45°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，

∴∠CDB=45°，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD=45°，

∴∠ODC=45°+45°=90°，

∵OD为半径，

∴CD与⊙O的位置关系是相切；

（2）【解析】
∵AB∥CD，∠ODC=90°，

∴∠BOD=90°=∠AOD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=2，

在△AOD中，由勾股定理得：2AO2=22，

AO=OD=OB=，

∵S△AOD=OA×OD=，

S扇形BOD=

S平行四边形ABCD=AB×DO=，

∴阴影部分的面积是：．