Question

如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若AD=DP，OB=3，求的长度；

（3）若DE=4，AE=8，求线段EG的长．

Answer

（1）证明见解析（2）π（3）2

【解析】试题（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；

（2）易得∠BOD=60°，再由弧长公式求解即可；

（3）连接DG，由垂径定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．

试题解析：（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠ADO，

∵∠DAF=∠DAB，

∴∠ADO=∠DAF，

∴OD∥AF，

又∵DF⊥AF，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）∵AD=DP

∴∠P=∠DAF=∠DAB =x0

∴∠P+∠DAF+∠DAB =3xo=90O

∴x0=300

∴∠BOD=60°，

∴的长度=

（3）【解析】
连接DG，如图2所示：

∵AB⊥CD，

∴DE=CE=4，

∴CD=DE+CE=8，

设OD=OA=x，则OE=8﹣x，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，

即（8﹣x）2+42=x2，

解得：x=5，

∴CG=2OA=10，

∵CG是⊙O的直径，

∴∠CDG=90°，

∴DG==6，

∴EG==.