Question

如图，在边长为的正方形中，点为边上的一个动点（与点、不重合），，交对角线于点，交对角线于点，交于点．

如图，联结，求证：，并写出的值；

联结，如图，若设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；

当为边的三等分点时，求的面积．

Answer

证明见解析；；（2）；.

【解析】

（1）通过正方形性质得,进而证明，利用相似三角形性质即可解题,（2）根据相似得，即，在直角三角形EGH中勾股定理即可解题,（3）利用三等分点,分类讨论M的位置,求出FG和EH的长即可解题.

证明：∵四边形是正方形，

∴，，又，

∴，，

∴，又，

∴，

∴；

如图，作于，

则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴；

当时，

∵四边形是正方形，

∴，

∴，

∴，

∴，则，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

当时，

，

∴，

∴，则，

，

∵，

∴，

∴，

∴．