Question

已知：二次函数y=（n﹣1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上．

（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；

（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；

（3）若y关于x的函数关系式为y=nx²﹣m²x﹣2n﹣2

①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；

②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．

Answer

（1）n=m2+1，图象开口向上；（2）存在m=±1，n=2，符合要求，理由见解析；（3）①必过的定点为（2，0），（﹣1，﹣3），过程见解析；②当n=0或﹣1或时，函数图象与坐标轴有两个交点．

【解析】

（1）根据二次函数的顶点在x轴上，可知b2-4ac=0,代入求值即可,（2）求出对称轴为x，根据分式性质,求整数即可,（3）①因式分解原式得n（x2﹣x﹣2）+x﹣2，当函数过定点时,即n不在影响函数,令x2﹣x﹣2=0,求解即可, ②分类讨论即可见详解.

【解析】
（1）∵二次函数y=（n﹣1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上，

∴4m2﹣4（n﹣1）=0，

∴n﹣1=m2 ，

∴n=m2+1，

∵n﹣1≠0，且m2≥0

∴n﹣1＞0，

∴图象开口向上；

（2）∵y=（n﹣1）x2+2mx+1，

∴对称轴x=，

要使为整数，

∵m，n为整数，

∴只要m=±1，此时n=2，

∴存在m=±1，n=2，符合要求；

（3）①y=nx2﹣（n﹣1）x﹣2n﹣2=n（x2﹣x﹣2）+x﹣2，

令x2﹣x﹣2=0，得x=﹣1或2，所以必过的定点为（2，0），（﹣1，﹣3），

②若n=0，则y=x﹣2，直线与坐标轴有两个交点，

若n≠0：b2﹣4ac=（n﹣1）2+4n（2n+2）=（3n+1）2≥0，

当抛物线过原点时，n=﹣1，此时图象与坐标轴有两个交点，

当抛物线不过原点时，n=时，b2﹣4ac=0，图象与x轴，y轴各有1个交点，

综上，当n=0或﹣1或时，函数图象与坐标轴有两个交点．