Question

如图，△ABC中，∠A＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，E为AC的中点，连接EB，交CD于点F．

（1）如图1，若∠EBA＝30°，EB＝2，求AE的长：

（2）如图2，若F恰好为EB的中点，求证：CF＝DF+AD．

Answer

（1）AE＝；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先过E作垂线，构建直角三角形求AE（2）F是EB的中点，据此找到边与边的关系，利用等量代换思想证明出CF＝DF+AD

（1）过E作EG⊥AB于G，

∴∠AGE＝∠BGE＝90°，

∵∠EBA＝30°，EB＝2，

∴EG＝BE＝1，

∵∠A＝45°，

∴AG＝EG＝1，

∴AE＝；

（2）证明：过E作EG⊥AB于G，

∵CD⊥AB，

∴EG∥CD，

∵E为AC的中点，

∴EG＝CD，

∵F恰好为EB的中点，

∴DF＝EG＝CD，

∴CF＝CD，

∵∠A＝45°，

∴CD＝AD，

∴CF＝AD，

∵DF+AD＝CD+AD＝AD+AD＝AD，

∴CF＝DF+AD．