Question

在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图1，点D是抛物线第四象限上的一动点，连接DC，DB，当S_△DCB＝S_△ABC时，求点D坐标；

(3)如图2，在(2)的条件下，点Q在CA的延长线上，连接DQ，AD，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于P，若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，请求出PQ的长．

Answer

（1）；（2）；（3）6

【解析】

（1）先求出B、C的坐标，然后代入二次函数的解析式，解方程组即可；

(2)过D作DG⊥x轴于G，过C作CF⊥DG于F，过B作BE⊥CF于E．设D（x，y），则x＞0，y＜0．求出S△ABC．根据S△CBD=S△CDF－S△CEB－S梯形EBDF解方程解得到x的值，从而得到D的坐标；

(3)连接AD，过D作DM⊥x轴于M．先求出直线CD的解析式为y=－x+2，得到CO=OR=2，则∠ORC=45°．再证明∠AQD=45°．通过勾股定理的逆定理得到AC2+AD2= DC2，即有∠CAD=90°，从而有△AQD是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得到AQ=AD．通过证明△QAN≌△ADM，得到NA，QN的长，进而得到ON=4，即可得到N（－4，0），则P点横坐标为x=-4，代入二次函数即可得到y的值，从而得到结论．

（1）在中，令y=0，解得：x=4，∴B(4，0)，令x=0，得：y=2，∴C(0，2)．把B(4，0)，C(0，2)代入中，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：．

(2)过D作DG⊥x轴于G，过C作CF⊥DG于F，过B作BE⊥CF于E．设D（x，y）．

∵D在第四象限，∴x＞0，y＜0．

∵B（4，0），C(0，2)，∴CE=OB=4，CO=BE=FG=2，EF=BG=x-4，DF=DG+FG=2-y，S△ABC=AB×OC=×（4+1）×2=5．

S△CBD=S△CDF－S△CEB－S梯形EBDF=，化简得：x+2y=－1．

∵D（x，y）在二次函数上，∴，化简得：，∴（x－5）（x+1）=0，∴x=5或x=－1（舍去）．

当x=5时，y==－3，∴D（5，－3）．

(3)如图，连接AD，过D作DM⊥x轴于M．设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，2），D（5，－3）代入得到：，解得：，∴直线CD的解析式为y=－x+2，令y=0，解得：x=2，∴R(2，0)，∴CO=OR=2，∴∠ORC=45°．

∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAO+∠OAD=90°，∴∠ACO=∠OAD，∴∠ACO+∠ADC=∠OAD+∠ADC=∠ARC=45°，∴∠AQD=45°．

∵AC2=12+22=5，AD2=(5+1)2+32=45，DC2=52+(2+3)2=50，∴AC2+AD2=5+45=50= DC2，∴∠CAD=90°，∴∠QAD=90°．

∵∠AQD=45°，∴△AQD是等腰直角三角形，∴AQ=AD．

∵∠QAD=90°，∴∠NAQ+∠DAM=90°．

∵∠NAQ+∠AQN=90°，∴∠AQN=∠MAD．在△QAN和△ADM中，∵∠AQN=∠MAD，∠QNA=∠AMD=90°，AQ=AD，∴△QAN≌△ADM，∴NA=DM=3，QN=AM=6，∴ON=4，∴N（－4，0）．设P（x，y）．

∵QP∥y轴，∴P点横坐标为x=-4，∴y==－12，∴PN=12，∴PQ=PN-QN=12－6=6．