Question

如图，在中，，平分，，，．线段的长度为：________；求线段的长度和的值．

Answer

【解析】

作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的定义和性质得∠CAD=α，DE=DC，在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sin∠CAD==，设CD=x，则AD=5x，DE=x，利用勾股定理得AC=2x，再利用面积法得DE•AB=AC•BD，可计算出BD=6；在Rt△ACB中，根据勾股定理得（2x）2+（x+6）2=122，解方程得到CD=x=，则BC=CD+BD=，然后根据正弦的定义求sin2α的值．

作DE⊥AB于E，如图，

∵AD平分∠BAC，∠BAD=α，

∴∠CAD=α，DE=DC，

在Rt△ACD中，sin∠CAD=sinα==，

设CD=x，则AD=5x，DE=x，

∴AC==2x，

∵S△ADB=DE•AB=AC•BD，即x•12=2x•BD，

∴BD=6，

在Rt△ACB中，

∵AC2+BC2=AB2，

∴（2x）2+（x+6）2=122，解得x1=，x2=-，

∴CD=x=，

∴BC=CD+BD=，

∴sin∠BAC===，

即sin2α=．

故答案为6．