Question

已知：抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B、C两点

（1）填空：b＝　   　（用含有a的代数式表示）；

（2）若a＝﹣1

①点P为抛物线上一动点，过点P作PM∥y轴交直线y＝﹣x+3于点M，当点P在第一象限内时，是否存在一点P，使△PCB面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

②当m≤x≤m+3时，y的取值范围是2m≤y≤4，求m的值．

Answer

（1）﹣3a﹣1；（2）①P（ ，）；②m的值为0或﹣．

【解析】

（1）直线经过B、C两点，先求出两点坐标，再带入抛物线解析式中求出表达式，然后再得到结果（2）若a=-1时，先写出抛物线解析式，然后根据条件求点P的坐标，再根据已知的m的范围，对照函数图象，求出m的值.

【解析】
（1）直线y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝3，

∴B（3，0）、C（0，3），

∵抛物线过B（3，0）、C（0，3），

∴解得：b＝﹣3a﹣1，

故答案为﹣3a﹣1．

（2）若a＝﹣1，则抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

①假设存在点P（x，﹣x2+2x+3）使得△PCB的面积最大，

∴M（x，﹣x+3），

∴PM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，

∵S△ABP＝S△PMC+S△PMB＝PM•OB＝（﹣x2+3x）×3＝﹣（x2﹣3x）

＝﹣（x﹣）2+，

当点P（，）在第一象限，此时△PBC的面积最大，

故存在点P的坐标为：P（ ，），△PBC的面积最大．

②∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，有最大值4，

∴由题意可知m≤1，m+3≥1

当m＝﹣是x＝m和m+3对应的函数值相等，

当﹣＜m＜1时，2m＝﹣（m+3）2+2（m+3）+3，

解得m1＝0，m2＝﹣6（不合题意舍去），

当﹣2＜m＜﹣时，﹣m2+2m+3＝2m，

∴m＝（舍）或m＝﹣

故m的值为0或﹣．