Question

已知，在三角形ABC中，点D在BC上，DE⊥AB于E，点F在AB上，在CF的延长线上取一点G，连接AG．

（1）如图1，若∠GAB=∠B，∠GAC+∠EDB=180°，求证：AB⊥AC．

（2）如图2．在（1）的条件下，∠GAC的平分线交CG于点M，∠ACB的平分线交AB于点N，当∠AMC-∠ANC=35°时，求∠AGC的度数．

Answer

（1）详见解析；（2）∠AGC=35°．

【解析】

（1）根据题示得出GA∥BC，∠EDB＝∠ACB，ED∥AC再由DE⊥AB得出结论.

（2）根据题示∠MAB＋∠MAC＝∠ACN＋∠MAC＝×180°＝90°，得出∠MAB＝∠ACN＝∠NCB，由（1）中GA∥BC即可求出∠AGC.

【解析】
（1）∵∠GAB＝∠B，

∴GA∥BC，

∴∠GAC＋∠ACB＝180°，

∵∠GAC＋∠EDB＝180°，

∴∠EDB＝∠ACB，

∴ED∥AC，

∵DE⊥AB，

∴AB⊥AC．

（2）∵∠GAC的平分线交CG于点M，∠ACB的平分线交AB于点N，

∴∠ACN＋∠MAC＝×180°＝90°，

∵∠MAB＋∠MAC＝∠ACN＋∠MAC＝90°，

∴∠MAB＝∠ACN＝∠NCB，

∵∠AMC－∠ANC＝35°，

∴∠BAM＋∠NCG＝∠BCG＝35°，

∵GA∥BC，

∴∠AGC＝35°．