Question

四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O．

（1）若点O在四边形ABCD的内部，

①如图1，若AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，则∠DOE=      °；

②如图2，试探索∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．

（2）如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系．

Answer

（1）①125；②∠B+∠C+2∠DOE=360°，理由详见解析；（2）∠B+∠C=2∠DOE，理由详见解析.

【解析】

（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可求∠BAE，∠CDO，再根据三角形外角的性质可求∠AEC，再根据四边形内角和等于360°可求∠DOE的度数；
②根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的关系，再根据四边形内角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之间的数量关系；
（2）根据四边形和三角形的内角和得到∠BAD＋∠ADC＝360°－∠B－∠C，∠EAD＋∠ADO＝180°－∠DOE，根据角平分线的定义得到∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，于是得到结论．

【解析】
（1）①∵AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，

∴∠BAD＝140°，∠ADC＝110°，

∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，

∴∠BAE＝70°，∠ODC＝55°，

∴∠AEC＝110°，

∴∠DOE＝360°－110°－70°－55°＝125°；

故答案为：125；

②∠B＋∠C＋2∠DOE＝360°，

理由：∵∠DOE＝∠OAD＋∠ADO，

∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，

∴2∠DOE＝∠BAD＋∠ADC，

∵∠B＋∠C＋∠BAD＋∠ADC＝360°，

∴∠B＋∠C＋2∠DOE＝360°；

（2）∠B＋∠C＝2∠DOE，

理由：∵∠BAD＋∠ADC＝360°－∠B－∠C，∠EAD＋∠ADO＝180°－∠DOE，

∵AE、DO分别平分∠BAD、∠CDA，

∴∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，

∴∠BAD＋∠ADC＝2（∠EAD＋∠ADO），

∴360°－∠B－∠C＝2（180°－∠DOE），

∴∠B＋∠C＝2∠DOE．