Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2．则 cos∠MCN=________． 

Answer

【解析】

试题连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作ME⊥CN于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，根据勾股定理即可求得ME，然后求得tan∠MCN．

试题解析：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，

∴AM=AN=2，BM=DN=4，

连接MN，连接AC，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°

在Rt△ABC与Rt△ADC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）

∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，

∴BC=AC，

∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，

3BC2=AB2，

∴BC=2，

在Rt△BMC中，CM=

∵AN=AM，∠MAN=60°，

∴△MAN是等边三角形，

∴MN=AM=AN=2，

过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2-x，

∴MN2-NE2=MC2-EC2，即4-x2=（2）2-（2-x）2，

解得：x=，

∴EC=2-=，

∴ME=，

∴tan∠MCN=.