Question

已知：如图，为的弦，为延长线上的一点，切于，为的直径，交于，，，，则( )

A. 9    B. 12    C. 15    D. 6

Answer

C

【解析】

过O作OF垂直于AB，利用垂径定理得到F为AB的中点，由AB的长求出AF的长，再由AF-AE求出EF的长，利用相交弦定理得到AE•BE=DE•EC，求出EC的长，由DE+EC求出直径DC的长，确定出半径OD的长，由OD-DE求出OE的长，由CP为圆O的切线，得到EC垂直于CP，得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形EFO与三角形ECP相似，由相似得比例，将各自的值代入即可求出PB的长．

过O作OF⊥AB，交AB于点F，
又AE=3，BE=6，
∴AF=BF=AB=（AE+BE）=4.5，
∴EF=AF-AE=4.5-3=1.5，
由相交弦定理得到AE•BE=DE•EC，
∵DE=2，AE=3，BE=6，
∴EC==9，
∴圆的直径DC=DE+EC=2+9=11，半径OD=5.5，
∴OE=OD-DE=5.5-2=3.5，
∵CP为圆O的切线，∴∠ECP=90°，
∴∠EFO=∠ECP=90°，且∠FEO=∠CEP，
∴△EFO∽△ECP，
∴，即 ，
解得：PB=15．
故选：C．