Question

如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，延长到点，连接，使．

求证：是的切线；

若，，求的长．

 

Answer

证明见解析；长为．

【解析】

（1）连接BD，由圆周角定理得出∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得出∠ABC=2∠ABD，得出∠ABD=∠CAF，证出∠CAF+∠CAB=90°，BA⊥FA，即可得出结论；
（2）连接AE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，设CE长为x，则EB长为3x，AB=BC=4x．由勾股定理可得AE=x，在Rt△AEC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

连接，如图所示：

∵是的直径

∴，

∵，

∴平分，即

∵，

∴，

∵，

∴，即，

∴是的切线；

连接，如图所示：

∵是的直径

∴，即为直角三角形，

∵，

设长为，则长为，长为．

则长为，

在中由勾股定理可得 ，

在中，，，，

由勾股定理得：，

解得：，

∵

∴，即长为．