Question

我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了(a＋b)ⁿ(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：(a＋b)⁰＝1，它只有一项，系数为1；(a＋b)¹＝a＋b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；(a＋b)³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8……

根据以上规律，解答下列问题：

(1)(a＋b)⁴的展开式共有多少项，系数分别为多少；

(2)写出(a＋b)⁵的展开式；

(3)(a＋b)ⁿ的展开式共有多少项，系数和为多少．

Answer

(1)5； 1，4，6，4，1；(2)a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；(3)(n＋1)； 2n.

【解析】

（1）本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和．因此可得（a+b）4的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；
（2）由（1）得出的规律，即可得出结果；
（3）根据题意得出（a+b）n展开式共有（n+1）项，当a=b=1时，（a+b）n=2n即可．

【解析】
（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，
各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，
即：1、4、6、4、1；

（2）根据题意得：（a+b）5的展开式为a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

（3）根据题意得：(a＋b)n的展开式共有（n+1）项

当a=b=1时，（a+b）n=2n．

即：(a＋b)n的展开式系数和为2n．