Question

如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．

（1）求的值；

（2）求函数的解析式；

（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）﹣3；（2）yx2﹣3；（3）M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．

【解析】

（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；

（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；

（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．

（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：

m＝﹣3；

（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：

x＝3，

所以点B的坐标为（3，0），

将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：

，

解得：，

所以二次函数的解析式为：yx2﹣3；

（3）存在，分以下两种情况：

①若M在B上方，设MC交x轴于点D，

则∠ODC＝45°+15°＝60°，

∴OD＝OC•tan30°，

设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k，

联立两个方程可得：，

解得：，

所以M1（3，6）；

②若M在B下方，设MC交x轴于点E，

则∠OEC＝45°-15°＝30°，

∴OE＝OC•tan60°＝3，

设EC为y＝kx﹣3，代入（3，0）可得：k，

联立两个方程可得：，

解得：，

所以M2（，﹣2）．

综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．