Question

如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数 （k≠0）的图象经过圆心P，则k=________.

Answer

【解析】

设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，用面积法可求出⊙P的半径，然后通过三角形相似可求出CD，从而得到点P的坐标，就可求出k的值．

设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，如图所示．

则有PD⊥OA，PE⊥AB．

设⊙P的半径为r，

∵AB=5，AC=1，

∴S△APB= AB•PE=r，S△APC=AC•PD=r．

∵∠AOB=90°，OA=4，AB=5，

∴OB=3．

∴S△ABC=AC•OB=×1×3=．

∵S△ABC=S△APB+S△APC，

∴=r+r．

∴r=．

∴PD=．

∵PD⊥OA，∠AOB=90°，

∴∠PDC=∠BOC=90°．

∴PD∥BO．

∴△PDC∽△BOC．

∴．

∴PD•OC=CD•BO．

∴×（4-1）=3CD．

∴CD=．

∴OD=OC-CD=3-=．

∴点P的坐标为（，）．

∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，

∴k=×=．

故答案为：．