Question

阅读下列解答过程：（1）如图甲，AB∥CD，探索∠P与∠A，∠C之间的关系．

（2）如图乙和图丙，AB∥CD，请根据上述方法分别探索两图中∠P与∠A，∠C之间的关系．

Answer

（1）∠APC＋∠A＋∠C＝360°.（2）∠C－∠A＝∠APC

【解析】

（1）过点P作PE∥AB，即可证得 PE∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1＋∠A＝180°，∠2＋∠C＝180°，即可得∠1＋∠A＋∠2＋∠C＝360°，再由∠APC＝∠1＋∠2，即可得∠APC＋∠A＋∠C＝360°；（2）图乙，过P作PE∥AB，求出AB∥PE∥CD，根据平行线的性质得出∠A=∠APE，∠C=∠CPE，即可求出答案；图丙，过点P作PF∥AB，类比图乙的证明方法解答即可．

（1）过点P作PE∥AB.

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行)．

∴∠1＋∠A＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，

∠2＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∴∠1＋∠A＋∠2＋∠C＝360°.

又∵∠APC＝∠1＋∠2，

∴∠APC＋∠A＋∠C＝360°.

（2）如图乙，过点P作PE∥AB.

∵AB∥CD(已知)，

∴PE∥AB∥CD(平行于同一直线的两条直线平行)．

∴∠A＝∠EPA，∠EPC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．

∵∠APC＝∠EPA＋∠EPC，

∴∠APC＝∠A＋∠C(等量代换)．

如图丙，过点P作PF∥AB.

∴∠FPA＝∠A(两直线平行，内错角相等)．

∵AB∥CD(已知)，

∴PF∥CD(平行于同一直线的两条直线平行)．

∴∠FPC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．

∵∠FPC－∠FPA＝∠APC，

∴∠C－∠A＝∠APC(等量代换)．