Question

如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC.若CD＝3，BD＝2，sin∠DBC＝，求对角线AC的长．

Answer

AC＝2.

【解析】试题过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠E＝90°，在Rt△BDE中，由sin∠DBC＝，BD＝2，可得DE、BE的长，在Rt△CDE中，由勾股定理可得CE的长，从而可得BC＝CD， 再由BD平分∠ABC，可推导得到AB∥CD，同理AD∥BC，从而得到四边形ABCD是菱形，然后再利用菱形的性质及勾股定理即可求得AC的长

试题解析：BC交BC的延长线于点E，则∠E＝90°，

∵在Rt△BDE中，sin∠DBC＝，BD＝2，∴DE＝2，

∴BE＝ ＝4，

∵在Rt△CDE中，CD＝3，DE＝2，∴CE＝ ＝1，

∴BC＝BE－CE＝3，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，

同理AD∥BC，∴四边形ABCD是菱形，

设AC交BD于O，则AC⊥BD，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD＝ ，

∴OC＝ ＝ ，∴AC＝2OC＝2.