Question

如图，在平面直角坐标系中，A(0，3)、B(3，0)，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为(　　)

A. 1    B. ﹣1    C.     D. 2﹣1

Answer

B

【解析】

确定点C的运动路径是：以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC的长最小，先求⊙D的半径为1，说明D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD=，所以OC的最小值是-1．

当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，

，

当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，

点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆（CA：PA=1：2，则点C轨迹和点P轨迹相似，所以点C的轨迹就是圆），当O、C、D共线时，OC的长最小，

设线段AB交⊙B于Q，

Rt△AOB中，OA=3，OB=3，

∴AB=3，

∵⊙B的半径为2，

∴BP1=2，AP1=3+2，

∵C1是AP1的中点，

∴AC1=+1，AQ=3-2，

∵C2是AQ的中点，

∴AC2=C2Q=-1，

C1C2=+1-（-1）=2，即⊙D的半径为1，

∵AD=-1+1==AB，

∴OD=AB=，

∴OC=-1，
故选：B．