Question

关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²+1=0有两个不等实根x₁，x₂．

（1）求实数k的取值范围；

（2）若方程两实根x₁，x₂满足x₁+x₂=－x₁x₂，求k的值．

Answer

（1）k>；（2）2.

【解析】试题（1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=-（2k+1），x1•x2=k2+1，根据x1+x2=-x1•x2得出-（2k+1）=-（k2+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．

试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，
解得：k＞，
即实数k的取值范围是k＞；
（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=-（2k+1），x1•x2=k2+1，
又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1•x2，
∴-（2k+1）=-（k2+1），
解得：k1=0，k2=2，
∵k＞，
∴k只能是2．