Question

（类比学习，从图1中找方法在图2中运用）

（1）如图1，在正方形ABCD（四条边都相等，每个内角都是90°）中，E是AB上一点，G是AD上一点，F是AD延长线上一点，且∠GCE＝45°，BE＝DF．求证：GE＝BE+GD．

（2）如图2，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD＝CB，∠B+∠D＝180°．求证：AE＝AD+BE．

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）根据正方形的性质可得BC＝CD，再利用“边角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等、对应角相等得到结论，根据全等三角形对应角相等可得∠BCE＝∠DCF，再求出∠GCF＝45°，从而得到∠GCF＝∠GCE，再利用“边角边”证明△GCE和△GCF全等，根据全等三角形对应边相等可得EG＝GF；

（2）延长AB到F使BF＝AD，根据补角的性质得到∠CBF＝∠D，根据全等三角形的性质即可得到结论．

（1）在正方形ABCD中，BC＝CD，

在△BCE和△DCF中，，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，

∵∠GCE＝45°，

∴∠GCF＝∠GCD+∠DCF＝∠GCD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°，

∴∠GCF＝∠GCE，

在△GCE和△GCF中，，

∴△GCE≌△GCF（SAS），

∴EG＝GF，

∵GF＝GD+DF，

∴GE＝BE+GD；

（2）延长AB到F使BF＝AD，

∴∠ABC+∠CBF＝180°，

∵∠ABC+∠D＝180°，

∴∠CBF＝∠D，

∵CD＝CB，

∴△CDA≌△CBF（SAS），

∴∠DAC＝∠F，

∵CE⊥AB，

∴∠CEA＝∠CEF，

∵CE＝CE，

∴△CAE≌△CFE，（SAS），

∴AE＝EF＝EB+BF，

∴AE＝AD+BE．