Question

已知△ABC是等边三角形．

（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．      

①如图a，当θ＝20°时，△ABD与△ACE是否全等？　   　（填“是”或“否”），∠BOE＝　   　度；

②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；

（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB＝AB′，AC＝AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

Answer

（1）①是，∠BOE=120°②∠BOE=120°（2）当0°＜＜30°时，∠BOE=60°

当30°＜＜180°时，∠BOE=120°

【解析】

试题（1）是∠BOE=120°

（2）由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形

∴AB=AD=AC=AE

∵△ADE是由△ABC绕点A旋转得到的

∴∠BAD=∠CAE=

∴△BAD≌△CAE

∴∠ADB=∠AEC

∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°

∴∠AEC+∠ABO+∠BAD=180°

∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE

∴∠DAE+∠BOE=180°

又∵∠DAE=60°

∴∠BOE=120°

（3）如图

，

c在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=AB′,AC=AC′,连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角 （0°＜＜180°），得到△ADE，AB=AB′,AC=AC′，可得，根据旋转的特征，所以

当0°＜＜30°时，∠BOE=60°

当30°＜＜180°时，∠BOE=120°