Question

如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A、B（A左B右），与y轴交于C，直线y＝﹣x+5经过点B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m，点P到直线BC的距离为d，求d与m的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，若∠PCB+∠POB＝180°，求d的值．

Answer

（1）y＝﹣x2+x+5（2）d＝m2﹣m（﹣2＜m＜0）（3）

【解析】

（1）首先求出B、C两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图1中，作PE⊥BC于E，作PF∥AB交BC于F．只要证明△PEF是等腰直角三角形，想办法求出PF（用m表示），即可解决问题；

（3）首先证明O、B、C、P四点共圆，推出∠CPB＝∠COB＝90°，可得PH＝BC＝，由P（m，﹣m2+m+5），H（，），可得（m﹣）2+（﹣m2+m+5﹣）2＝，解方程去m，再利用（2）中结论即可解决问题.

（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B、C，

∴B（5，0），C（0，5），

把B、C坐标代入y＝﹣x2+bx+c得到： ，

解得，

∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+5；

（2）如图1中，作PE⊥BC于E，作PF∥AB交BC于F．

∵P（m，﹣m2+m+5），

∵PF∥AB，

∴点F的纵坐标为﹣m2+m+5，

则有﹣m2+m+5＝﹣x+5，

∴x＝m2﹣m，

∴PF＝m2﹣m﹣m＝m2﹣m，

∵OB＝OC，∠BOC＝90°，

∴∠EFP＝∠OBC＝45°，∵PE⊥EF，

∴△PEF是等腰直角三角形，

∴d＝PE＝PF＝m2﹣m（﹣2＜m＜0）；

（3）如图2中，取BC的中点H，连接PH．

∵∠PCB+∠POB＝180°，

∴O、B、C、P四点共圆，

∴∠CPB＝∠COB＝90°，

∴PH＝BC＝，

∵P（m，﹣m2+m+5），H（，），

∴（m﹣）2+（﹣m2+m+5﹣）2＝，

整理得：m（m﹣5）（m2﹣m﹣2）＝0，

解得m＝0或5或﹣1或2，

∵P在第二象限，

∴m＝﹣1，

∴d＝m2﹣m＝．