Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．

(1)求证：AD⊥EF；

(2)求CG的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)CG= 12.5．

【解析】

（1）由平移的性质可知：AB∥DF，再利用平行线的性质即可证明；

（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．

(1)∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，

∴∠DAB=90°，

∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，

∴AB∥EF，

∴∠ADF+∠DAB=180°，

∴∠ADF=90°，

∴AD⊥EF；

(2)由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，

∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，

∵∠DAB=90°，

∴∠ADE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ADE=∠ACB，

∴△ADE∽△ACB，

∴=，

∵AC=8，AB=AD=10，

∴AE=12.5，

由平移的性质得，CG=AE=12.5．