Question

四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=3，AB=7，

求(1)指出旋转中心和旋转角度；

(2)求DE的长度；

(3)BE与DF的位置关系如何？请说明理由．

Answer

(1)旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；(2)DE= 4；(3)BE与DF是垂直关系．

【解析】

（1）根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AD的夹角为旋转角；

（2）根据旋转的性质可得AE=AF，AD=AB，然后根据DE=AD-AE计算即可得解；

（3）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，然后求出∠ABE+∠F=90°，判断出BE⊥DF．

（1）根据正方形的性质可知：△AFD≌△AEB，

即AE=AF=3，∠EAF=90°，∠EBA=∠FDA；

可得旋转中心为点A；旋转角度为90°或270°；

（2）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，

∴△ADF≌△ABE，

∴AE=AF=4，AD=AB=7，

∴DE=AD-AE=7-4=3；

（3）BE、DF的位置关系为：BE⊥DF．理由如下：

延长BE交DF于G，

∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，

∵∠ADF+∠F=180°-90°=90°，

∴∠ABE+∠F=90°，

∴BE⊥DF，

∴BE、DF的位置关系为：BE⊥DF．