Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC²＝CE•CA．

（1）求证：BC＝CD；

（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．

Answer

（1）证明见解析；

（2）⊙O的半径为4．

【解析】

试题(1)、根据题意得出△CAD和△CDE相似，从而得出∠CAD=∠CDE， 结合∠CAD=∠CBD得出∠CDB=∠CBD，从而得出答案；(2)、连接OC，根据OC∥AD得出PC=2CD，根据题意得出△PCB和△PAD相似，即，从而得出r的值.

试题解析：(1)、∵DC2=CE•CA， ∴=， 而∠ACD=∠DCE， ∴△CAD∽△CDE，

∴∠CAD=∠CDE， ∵∠CAD=∠CBD， ∴∠CDB=∠CBD， ∴BC=DC；

(2)、连结OC，如图，设⊙O的半径为r， ∵CD=CB， ∴=， ∴∠BOC=∠BAD，

∴OC∥AD， ∴===2， ∴PC=2CD=4， ∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，

∴△PCB∽△PAD， ∴=，即=， ∴r=4， 即⊙O的半径为4．