Question

如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若AB=AD，AC=，tan∠ADC=3，求BE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】试题（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论；（2）过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD，得到∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中可求得AF＝3，在Rt△AFD中求得DF＝1，所以AB＝＝ ，CD= CF+DF=4，再证明△ABE∽△CDA，得出，即可求出BE的长度；

试题解析：

（1）证明：连结OA，OB，

∵∠ACB=45°，

∴∠AOB=2∠ACB= 90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45°，

∵∠BAE=45°，

∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，

∴OA⊥AE．

∵点A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切线．

（2）【解析】
过点A作AF⊥CD于点F，则∠AFC=∠AFD=90°．

∵AB=AD，

∴ =

∴∠ACD=∠ACB=45°，

在Rt△AFC中，

∵AC=，∠ACF=45°，

∴AF=CF=AC·sin∠ACF =3，

∵在Rt△AFD中， tan∠ADC=，

∴DF=1，

∴，

且CD= CF+DF=4，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ABE=∠CDA，

∵∠BAE=∠DCA，

∴△ABE∽△CDA，

∴，

∴，

∴．