Question

长方形ABCD位于平面直角坐标系中平行移动．

（1）如图1，若AB⊥x轴且点A的坐标（﹣4，4），点C的坐标为（﹣1，﹣2），在边AB上有动点P，过点P作直线PQ交BC边于点Q，并使得BP＝2BQ．

①当S_△BPQ＝S_{长方形ABCD}时，求P点的坐标．

②在直线CD上是否存在一点M，使得△MPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出M点坐标：若不存在，请说明理由．

（2）如图2，若AB⊥x轴且A、B关于x轴对称，连接BD、OB、OD，且OB平分∠CBD，求证：BO⊥DO．

Answer

（1）①点P（﹣4，1），②点M坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣1）；（2）见解析.

【解析】

（1）①根据题意可求点B的坐标（﹣4，﹣2），点D（﹣1，4），AD＝3＝BC，AB＝CD＝6，由S△BPQ＝S长方形ABCD，可求BP的长，即可求点P的坐标；

②分∠MPQ＝90°和∠PQM＝90°两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可求点M的坐标；

（2）设BD与x轴的交点为E，连接AE，根据轴对称的性质可证AE＝BE，根据直角三角形的性质可得AE＝BE＝DE，根据角平分线的性质可证DE＝OE＝BE，由三角形内角和定理可得∠BOE+∠DOE＝90°，即∠BOD＝90°，则BO⊥DO．

（1）①∵四边形ABCD是矩形，且AB⊥x轴，点A的坐标（﹣4，4），点C的坐标为（﹣1，﹣2），

∴点B的坐标（﹣4，﹣2），点D（﹣1，4），

∴AD＝3＝BC，AB＝CD＝6，

∵S△BPQ＝S长方形ABCD，

∴×BP×BQ＝×AB×BC＝，且BP＝2BQ，

∴BQ＝，BP＝3，

∴点P（﹣4，1）

②如图，若∠MPQ＝90°，过点M作MN⊥AB于点N，

∵MN⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°

∴四边形BCMN是矩形

∴MN＝BC＝3，BN＝CM，

∵MN⊥AB，∠MPQ＝90°，

∴∠BPQ+∠BQP＝90°，∠NPM+∠BPQ＝90°，

∴∠BQP＝∠MPN，且PQ＝PM，∠ABC＝∠PNM＝90°，

∴△PMN≌△QPB（AAS）

∴PB＝MN＝3，BQ＝PN，

∵PB＝2BQ

∴BQ＝＝PN

∴MC＝BN＝BP+PN＝

∴点M坐标（﹣1，）

如图，若∠PQM＝90°，

∵∠PQM＝90°，∠ABC＝90°，

∴∠PQB+∠MQC＝90°，∠BPQ+∠PQB＝90°，

∴∠BPQ＝∠MQC，且PQ＝QM，∠ABC＝∠BCD＝90°，

∴△BPQ≌△CQM（AAS）

∴BQ＝CM，QC＝BP，

∵BQ+QC＝BQ+BP＝BC＝3，且BP＝2BQ，

∴BQ＝MC＝1，

∴点M坐标（﹣1，﹣1），

综上所述：点M坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣1）；

（2）设BD与x轴的交点为E，连接AE，

∵A、B关于x轴对称，

∴AE＝BE，

∴∠ABE＝∠BAE，

∵∠BAD＝90°，

∴∠ABE+∠ADB＝90°，∠BAE+∠EAD＝90°，

∴∠ADB＝∠EAD，

∴AE＝DE，

∴AE＝DE＝BE，

∵AB⊥x轴，AB⊥BC，

∴BC∥x轴，

∴∠EOB＝∠OBC，

∵BO平分∠CBD，

∴∠DBO＝∠CBO，

∴∠DBO＝∠EOB，

∴BE＝EO，

∴BE＝EO＝DE，

∴∠EDO＝∠EOD，

∵∠DBO+∠EOB+∠EDO+∠EOD＝180°，

∴∠BOE+∠DOE＝90°，

∴∠BOD＝90°，

即BO⊥DO．