Question

已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．

（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；

（2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由∠BAC=∠EDF=60°，推出△ABC、△DEF为等边三角形，于是得到∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，推出△BCE≌△ACD（SAS），根据全等三角形的性质得到AD=BE，即可得到结论；

（2）在FA上截取FM=AE，连接DM，推出△AED≌△MFD（SAS），根据全等三角形的性质得到DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，证得∠ADM=∠EDF=∠BAC，推出△ABC≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质得到AM=BC，即可得到结论．

（1）∵∠BAC=∠EDF=60°，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°．在△BCE和△ACD中

∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD=BE，∴AE+AD=AE+BE=AB=AF；

（2）在FA上截取FM=AE，连接DM．

∵∠BAC=∠EDF，∠AGE=∠DGF，∴∠AED=∠MFD．

在△AED和△MFD中，∵，∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM，即∠ADM=∠EDF=∠BAC．

在△ABC和△DAM中，∵，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM=BC，∴AE+BC=FM+AM=AF．

即AF=AE+BC．