Question

不透明的袋子中装有 4 个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、4

（1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率

（2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和等于 4”的概率．

（3）梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，E 为直线 BC上一点，若AB＝5，BC＝12，DC＝7，当BE＝？时，△ABE与△DEC相似．

Answer

（1）；（2）；（3）当 BE＝5或7 时，△ABE与△DEC相似．

【解析】

(1)画树状图展示所有16种等可能的结果数,找出两次取的球标号相同的结果数,然后根据概率公式求解

(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出两次取出的球标号和等于4的结果数,然后根据概率公式求解.

(3)三角形ABE和三角形DEC都为直角三角形，并且AE和DE为斜边即为对应边，所以△ABE与△DEC相似时，AB和CD可以为对应边，AB和CE也可为对应边，需要分别讨论，再利用相似比即可求出所求线段的长度．求出满足题意的BE值即可．

（1）画树状图为：

共有 16 种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为 4， 所以“两次取的球标号相同”的概率＝＝ ；

（2）画树状图为：

共有 12 种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和等于 4 的结果数为 2， 所以“两次取出的球标号和等于 4”的概率＝＝ ．

（3）设 BE＝x，则 CE＝12﹣x，

①当△ABE∽DCE 时，

，

即：

解得：x＝5；

②当△ABE∽ECD 时，

，

即： ，

解得：x＝5或7

综上可知：当 BE＝5 或 7 时，△ABE 与△DEC 相似．