Question

如图（1）是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN 是晾衣架的一个滑槽，点 P 在滑槽 MN 上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图（2）所示，已知每个菱形的边长均为 20cm，且 AB=CD=CP=DM=20cm．

（1）当点 P 向下滑至点 N 处时，测得 DCE  60 时.

①求滑槽 MN 的长度；

②此时点 A 到直线 DP 的距离是多少？

（2）当点 P 向上滑至点 M 处时，点 A 在相对于（1）的情况下向左移动的距离是多少？

（结果精确到 0.01cm，参考数据 ≈1.414， ≈1.732）

Answer

（1）①滑槽 MN 的长度14.6cm；②此时点 A 到直线 DP 的距离是60cm；（2）当点 P 向上滑至点 M 处时，点 A 在相对于（1）的情况下向左移动的距离约为43.9cm.

【解析】

（1）①当点P向下滑至点N处时，如图1中，作CH⊥DN于H．△CDN是等腰三角形，求出NH的长即可解决问题；

②根据题意，点A到直线DP的距离是6CH=6×10=60cm．

（2）当点P向上滑至点M处时，如图2中，△CMD是等边三角形，求出此时点A到直线DP的距离即可解决问题；

（1）①当点 P 向下滑至点 N 处时，如图 1 中，作 CH  DN 于 H．

∵ DCE  60 ，

∴ DCN  180﹣DCE  120 ，

∵CD=CP=20cm，即 CD=CN=20cm，

∴ CDN (180﹣DCN）30 ，

∴CH= CD=10cm，NH=DH=20﹣10=10 （cm），

∴MN=DN﹣DM=2DH﹣DM=20 ﹣20≈14.6cm．

∴滑槽 MN 的长度为 14.6cm．

②根据题意，点 A 到直线 DP 的距离是 6CH=6×10=60cm．

（2）当点 P 向上滑至点 M 处时，如图 2 中， CMD 是等边三角形，

∴ CDM  60 ，

作 CG  DM 于 G，则 CG  CD • sin60  20 10（cm），

此时点 A 到直线 DP 的距离是 6CG  6 10 60 ，

∵ 60 ﹣60  43.9cm ，∴点 A 在相对于（1）的情况下向左移动的距离是 43.9cm．