Question

四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．

（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；

（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE=1，，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．

Answer

（1）EG⊥CG，；（2）结论还成立，证明见解析；

【解析】

试题（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可.

（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案.

（3）连接BD，求出，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．

试题解析：（1）EG⊥CG，，理由是：

如图1，过G作GH⊥EC于H，

∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC.

∵G为DF中点，∴H为EC中点.

∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=BC.

∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形.

∴

（2）结论还成立，证明如下：

如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，

∵在△EFG和△HDG中，GF＝GD，∠FGE＝∠DGH，EG＝HG，∴△EFG≌△HDG（SAS）.

∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG.∴EF∥DH.

∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4.∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC.

在△EBC和△HDC中，BE＝DH，∠EBC＝∠HDC，BC＝CD，∴△EBC≌△HDC．

∴CE=CH，∠BCE=∠DCH.

∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°.

∴△ECH是等腰直角三角形，

∵G为EH的中点，

∴EG⊥GC，，即（1）中的结论仍然成立.

（3）如图3，连接BD，

∵AB=，正方形ABCD，∴BD=2.∴.

∴∠DBE=60°.∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°.∴∠ABF=45°-15°=30°.

∴.∴DE=BE=.

∴DF=DE-EF=.