Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝45°，

（1）利用直尺和圆规完成以下作图，并保留作图痕迹．在边BC上求作一点D，使点D到AB，AC的距离相等．（不要求写作法）

（2）若AC＝5，CD＝2.07，求DB和AB的长．

Answer

（1）见解析（2）DB=2.93;AB=7.07

【解析】

（1）根据角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以作∠BAC的平分线，进而得出D点位置；

（2）证明Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），得AC＝AE，可得BD和AB的长．

（1）如图，作∠CAB的平分线AD，交BC于D，则D为所求；

（2）过D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，∠CAB＝45°，

∴∠B＝45°，∠DEB＝90°，

∴∠EDB＝∠B＝∠CAB＝45°，

∴BE＝DE，AC＝BC，

∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DC＝DE，

∵AD＝AD，

∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），

∴AC＝AE，

∴BD＝BC﹣DC＝AC﹣DC＝5﹣2.07＝2.93，

∴AB＝AE+BE＝AC+DC＝5+2.07＝7.07．