Question

（1）如图①所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边的中线，DE⊥AB，垂足为E，求证：AB＝4AE．

（2）如图②所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP＝2，求PQ的长．

Answer

（1）证明见解析（2）1

【解析】

（1）利用直角三角形30度角的性质证明AB＝2AD，AD＝2AE即可；

（2）由SAS可得△ABE≌△CAD，进而得出∠BPD＝60°，可得∠PBQ＝30°解决问题.

（1）如图①中，∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

而∠BAC＝120°，

∴∠B＝30°，

∵DE⊥AB，

∴∠BED＝90°，

∴∠BDE＝60°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADE＝30°，

∴AD＝2AE，AB＝2AD，

∴AB＝4AE；

（2））∵AB＝AC，AE＝CD，∠BAE＝∠C＝60°，

在△ABE和△CAD中，

，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴∠ABE＝∠CAD，

∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAC＝60°．

在Rt△BPQ中，∵∠BPQ＝60°，

∴∠PBQ＝30°，

∵PB＝2，

∴PQ＝PB＝1．