Question

如图1，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，高线AD、BE相交于点F．

（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由．

（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，

①求证：AE＝EC；

②直接写出∠MAC的度数以及线段NE与AC的数量关系．

Answer

（1）BF＝AC（2）①见解析②NE＝AC

【解析】

（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF＝AC；

（2）①如图2，由折叠得：MD＝DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE＝EC；

②由线段垂直平分线的性质得：AB＝BC，则∠ABE＝∠CBE，结合（1）得：△BDF≌△ADM，则∠DBF＝∠MAD，最后证明∠ANE＝∠NAE＝45°，得AE＝EN，所以EN＝AC．

（1）BF＝AC，理由是：

如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADB＝∠AEF＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD＝BD，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠DAC＝∠EBC，

在△ADC和△BDF中，

，

∴△ADC≌△BDF（AAS），

∴BF＝AC；

（2）①如图2，由折叠得：MD＝DC，

∵DE∥AM，

∴AE＝EC，

②NE＝AC，理由是：

如图2，∵AE＝EC，BE⊥AC，

∴AB＝BC，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝×45°＝22.5°，

由（1）得：△ADC≌△BDF，

∵△ADC≌△ADM，

∴△BDF≌△ADM，

∴∠DBF＝∠MAD＝22.5°，

∴∠MAC＝2∠MAD＝45°，

∵∠NEA＝90°，

∴△AEN是等腰直角三角形，

∴EN＝AE＝EC，

∴EN＝AC．