Question

如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，以AE为直径的⊙O切BC于点D.

(1)求证：AD平分∠BAC；

(2)已知∠B＝30°，AD＝2，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；(2) S阴影=2－.

【解析】

（1）连接OD，可证明OD∥AC，结合平行线的性质可证得结论；
（2）由直角三角形的性质可求得BD，再结合三角函数可求得OD，可求得△OBD和扇形OED的面积，可求得阴影部分面积．

（1）证明：如答图，连接OD.

∵BC为⊙O的切线，∴OD⊥BC.

又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，

∴∠ODA＝∠DAC.

又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC.

(2)【解析】
∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∴BD＝AD＝2.

在Rt△OBD中，tan B＝，即＝，

∴OD＝2，且∠BOD＝60°，

∴S阴影＝S△OBD－S扇形OED

＝×2×2－

＝2－.