Question

如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．

（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．

Answer

（1）CM与⊙O相切，理由见解析；（2）MF=．

【解析】

（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；

（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME-EF即可．

解:（1）CM与⊙O相切．理由如下：

连接OC，如图，

∵GD⊥AO于点D，

∴∠G+∠GBD=90°，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵M点为GE的中点，

∴MC=MG=ME，

∴∠G=∠1，

∵OB=OC，

∴∠B=∠2，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠OCM=90°，

∴OC⊥CM，

∴CM为⊙O的切线；

（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，

∴∠1=∠5，

而∠1=∠G，∠5=∠A，

∴∠G=∠A，

∵∠4=2∠A，

∴∠4=2∠G，

而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，

∴∠EMC=∠4，

而∠FEC=∠CEM，

∴△EFC∽△ECM，

∴，即，

∴CE=4，EF=，

∴MF=ME﹣EF=6﹣=．