Question

如图，在⊙O中，点P为直径BA延长线上一点，PD切⊙O于点D、过点B作BH⊥PH，点H为垂足，BH交⊙O于点C，连接BD，CD．

（1）求证：BD平分∠ABH；

（2）若CD=2，∠ABD=30°，求⊙O的直径的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）4；

【解析】

（1）利用切线性质得OD⊥PH，则可证明BH∥OD，利用平行线的性质得∠2=∠3，加上∠1=∠3，从而得到∠1=∠2；
（2）连接OC，如图，先证明△OCB为等边三角形得到∠BOC=60°，再利用平行线的性质得到∠BOD=120°，所以∠DOC=60°，然后判定△OCD为等边三角形，则OD=CD=2，从而得到⊙O的直径的长．

（1）证明：∵PD切⊙O于点D，

∴OD⊥PH，

∵BH⊥PH，

∴BH∥OD，

∴∠2=∠3，

∵OD=OB，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2，

∴BD平分∠ABH；

（2）【解析】
连接OC，如图，

∵∠1=30°，

∴∠2=∠3=30°，

∴∠OBC=60°，

∴△OCB为等边三角形，

∴∠BOC=60°，

∵BC∥OD，

∴∠BOD=180°﹣∠OBC=120°，

∴∠DOC=60°，

而OC=OD，

∴△OCD为等边三角形，

∴OD=CD=2，

∴⊙O的直径的长为4．